离散时间系统分类详解：理解数字信号处理的基石

一、离散时间系统的分类维度

离散时间系统可以根据其输入与输出关系的不同特性，从多个维度进行分类。理解这些分类对于分析系统特性至关重要。

1. 静态（无记忆）系统 vs. 动态（有记忆）系统

这个分类标准关注系统的输出是否与过去的输入状态有关。

• 静态系统：系统在任意时刻 n 的输出 y(n) 只取决于同一时刻的输入 x(n)，与过去或未来的输入无关。构成这种系统的单元通常只包括加法器和乘法器。
  • 例子：y(n) = 5x(n) 或 y(n) = (x(n))²。
• 动态系统：系统在任意时刻 n 的输出 y(n)，不仅与当前输入 x(n) 有关，还与过去的输入/输出有关。这种系统包含记忆元件，如寄存器或延迟单元。
  • 例子：累加器 y(n) = y(n-1) + x(n) 和滑动平均滤波器都是动态系统。

2. 线性系统 vs. 非线性系统

这个分类标准关注系统是否满足叠加原理。

一个系统是线性的，当且仅当它同时满足以下两个性质：

• 齐次性：如果输入 x[n] 产生输出 y[n]，那么输入 a * x[n] 将产生输出 a * y[n]。
• 可加性：如果输入 x1[n] 产生输出 y1[n]，输入 x2[n] 产生输出 y2[n]，那么输入 x1[n] + x2[n] 将产生输出 y1[n] + y2[n]。

将两者结合，对于线性系统，若 x1[n] → y1[n] 且 x2[n] → y2[n]，则对于任意常数 α 和 β，必有：T[αx1(n) + βx2(n)] = αy1(n) + βy2(n)。

• 线性系统例子：y(n) = n * x(n)。
• 非线性系统例子：y(n) = (x(n))²。因为 (a1x1(n) + a2x2(n))² ≠ a1x1(n)² + a2x2(n)²。

注意：形如 y(n) = 4x(n) + 6 的系统被称为增量线性系统，它不满足零输入产生零输出的条件，因此不是严格意义上的线性系统。

3. 时不变系统 vs. 时变系统

这个分类标准关注系统的特性是否随时间变化。

• 时不变系统：系统的参数和操作规则不随时间变化。如果一个输入信号产生一个输出信号，那么当该输入信号被延迟 k 个单位后，输出信号也将会被完全一致地延迟 k 个单位。即，若 y(n) = T[x(n)]，则对于任意整数 k，有 y(n-k) = T[x(n-k)]。
  • 例子：y(n) = x(n) - x(n-1)。
• 时变系统：系统的特性随时间变化。输入信号的延迟不会导致输出信号产生同等程度的简单延迟。
  • 例子：y(n) = n * x(n) 或 y(n) = x(-n)（取反系统）都是时变系统。

4. 因果系统 vs. 非因果系统

这个分类标准关注系统的输出是否依赖于未来的输入，这在实时处理中尤为重要。

• 因果系统：系统在任意时刻 n 的输出 y(n) 仅取决于当前和过去时刻的输入（即 x(n), x(n-1), x(n-2), …），而与未来的输入（x(n+1), x(n+2), …）无关。物理上可实现的系统通常是因果的。
  • 例子：y(n) = x(n) + x(n-1)。
• 非因果系统：系统在任意时刻 n 的输出 y(n) 依赖于未来的输入。非因果系统在实时处理中无法实现，但可用于离线处理（如处理已存储的数据）。
  • 例子：y(n) = x(n+1)（单位超前系统）或 y(n) = x(-n)。

5. 稳定系统 vs. 不稳定系统

这个分类标准关注系统输入输出的有界性。

• 稳定系统：当系统的输入是一个有界序列（即存在一个常数 Bx，使得对于所有 n，|x(n)| < Bx）时，系统的输出也必然是一个有界序列（存在常数 By，使得对于所有 n，|y(n)| < By）。这个特性被称为BIBO稳定。
• 不稳定系统：一个有界的输入可能导致一个无界的输出。在实际应用中，不稳定系统通常需要避免。

对于线性时不变系统，有一个非常简洁的稳定性判据：系统稳定的充分必要条件是其单位冲激响应 h(n) 是绝对可和的，即满足 ∑|h(n)| < ∞（从 n=-∞ 到 ∞）。

二、特别的明星：线性时不变系统

在理论研究和工程实践中，线性时不变系统 是最重要、最常被研究的一类系统。因为它们同时满足线性和时不变性，使得数学分析和处理变得非常简便。

• 卷积和表示：任何LTI系统都可以完全由其单位冲激响应 h(n)（即系统对单位脉冲 δ(n) 的响应）来描述。对于任意输入 x(n)，系统的输出 y(n) 可以通过输入信号与单位冲激响应的卷积和来计算：y(n) = x(n) * h(n) = ∑ x(k)h(n-k)。
• FIR与IIR系统：根据冲激响应的持续时间，LTI系统可进一步分为：
  • 有限冲激响应系统：h(n) 只在有限时间内非零。
  • 无限冲激响应系统：h(n) 在理论上是无限长的。
• 因果性判据：一个LTI系统是因果的，当且仅当其冲激响应满足 h(n) = 0（对于所有 n < 0）。

总结

离散时间系统的分类为我们提供了一套强大的工具，用以理解和预测系统的行为。我们可以通过以下表格快速回顾：

赏

谢谢你请我吃糖果

支付宝

微信